Cantor, la variété de l’infini

Cantor, théorie des ensembles

Cantor, théorie des ensembles

Les mathématiciens comme les autres réunissent des objets de même nature en « collections » ou « ensembles ». Mais le mot ne prend son sens qu’en 1873, avec la théorie des ensembles de Cantor, un des ouvrages qui a le plus influencé les mathématiques actuelles.
« Par ensemble nous entendons toute collection M de m objets déterminés et bien distincts de notre intuition ou de notre pensée ».
Cantor distingue alors les ensembles finis et les ensembles infinis et, à la surprise générale, montre qu’il existe plusieurs sortes d’ensembles infinis, irréductibles les uns aux autres : les ensembles dénombrables, comme les nombres entiers naturels et les ensembles ayant la puissance du continu, donc non dénombrables, comme les nombres réels. Personne avant Cantor n’avait songé à se demander si l’ensemble des nombres réels était dénombrable.Cantor achève enfin de troubler les mathématiciens en montrant l’équipotence de l’ensemble des nombres réels R et de R2. (Deux ensembles E et F sont équipotents s’il existe une bijection de E dans F) ; il abolit ainsi la distinction entre les espaces à une, deux ou trois dimensions et sape la géométrie.
La théorie des ensembles devient un lieu de confrontation entre mathématiques et philosophie et le trouble qui en résulte est à l’origine de ce qu’on a appelé la « crise des fondements » des mathématiques.

Georg Cantor

Georg Cantor

Cantor Georg, mathématicien allemand
1845 (Saint-Pétersbourg) – 1918 (Halle)

Georg Cantor s’oriente vers la science théorique ; professeur, il fait une thèse sur la théorie des nombres. Avec ses travaux sur les ensembles, il va saper la belle science positive que sont devenues les mathématiques.
L’infini n’est pas si simple ; par exemple les nombres irrationnels sont infiniment plus nombreux que les nombres rationnels, deux segments de droite inégaux contiennent le même nombre de points, il existe un infini dénombrable et un infini indénombrable.
Ces idées subversives choquent profondément ; l’ancien professeur de Cantor, Kronecker, prend ces travaux pour un défi personnel et déclenche une campagne de haine contre le mathématicien.
Cantor ne le supporte pas et des attaques de démence le harcèlent à partir de 1884. Il continue cependant ses travaux, fait transformer sa chaire de mathématiques en chaire de philosophie et meurt dans un asile de fous. Ses travaux ne seront vraiment exploités que par les mathématiciens du XXe siècle.

1867 : thèse
1869 : professeur à l’université de Halle
1873 : premier article sur les ensembles
1879 : découverte des nombres transfinis

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